OCTUBRE


LOS NÚMEROS COMPLEJOS  C
Representado por   Z= a + bi 

Los números complejos también cumplen las leyes que se conocíamos  anteriormente con los números reales  tanto para la adición, sustracción, producto y división y son:

  • Clausurativa
  • Conmutativa
  • Asociativa
  • Existencia del elemento neutro aditivo             Z= 0+ 0i      cero complejo
  • Existencia del elemento neutro multiplicativo  Z= 1+ 0i       neutro multiplicativo
  • Existencia del elemento inverso aditivo            Z= -a - bi     inverso aditivo
  • Existencia del elemento inverso multiplicativo  Z^-1            inverso multiplicativo 

PRODUCTO

En el producto tenemos dos observaciones importantes  Sea  Z= a+ bi  entonces:

1.     Re(Z)=a =0, entonces Z es un imaginario puro
2.     Im(Z)=b=0, entonces Z es un real

Lo que no debemos olvidar es que:

  • Todo número real es un complejo pero no todo número complejo es un real
  • Sabemos que  i=(-1)^1/2                            
pero si deseamos realizar el mismo procedimiento para i²⁶ es mas complicado realizar el mismo proceso por lo que tomamos al numero (26)y lo dividimos entre 4, lo da como residuo 2 y ese es el exponente que nos mostrara cual es su equivalente:

 i^26=(i^2)=-1

INVERSO MULTIPLICATIVO

Para entender el inverso multiplicativo es necesario comprender  dos cosas: 

1.         Conjugada de Z ( Z*)


   Z*= a -bi    Conjugada de Z, donde la única diferencia con el inverso aditivo es que solo cambia de signo el imaginario de Z

Cabe recalcar que: 

Z* es diferente de Z
2.        Módulo de Z o valor absoluto de Z

tomando en cuenta los enunciados 1 y 2, y teniendo en cuenta que Z= a + bi podremos comprender como es el inverso de Z.

Aplicando la conjugada de Z

 Z^−1 =Z*/|Z|^2


Vemos un plano parecido al plano cartesiano, que en el campo de los complejos es plano complejo 


Gráfica

Relaciones
BINÓMICA                        z = a + bi

POLAR                            z = rα

TRIGONOMÉTRICA               z = r (cos α + i sen α) ==> Z= r Cis(α)
 PRODUCTO,DIVISIÓN, POTENCIACIÓN EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA
                    
                   MULTIPLICACIÓN: Dados dos complejos Z1 y Z2 su producto sera:
   z1= a + bi                            z2= a + bi

Z1*Z2=[r1 Cis(α1)]*[r2 Cis(α2)]
                DIVISIÓN: Dados los números complejos Z1 y Z2 


z1= a + bi                            z2= a + bi

Z1/Z2=(r1/r2)Cis(α1-α2)

POTENCIACIÓN: Para la potenciacion se utiliza el Teorema de Moivre 

(cosx+isinx)n=cos(nx)+isin(nx).
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
complejos.


LÍMITES DE FUNCIONES COMPLEJAS 

Se dice que una función tiene un límite A cuando $ z$ tiende a $ a$


$\displaystyle \lim_{z\rightarrow a} f(z)= A$

si para todo $ \epsilon < 0$ exite un $ \delta < 0$ tal que  $\displaystyle \vert f(z)-A\vert < \epsilon$  siempre que   $\displaystyle 0 < \vert z-a\vert < \delta$

EXPONENCIALES COMPLEJOS O FÓRMULA DE 

EULER 


e^{i x} = \cos x + i\,\sin x


En las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}

\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

LOGARITMO DE UN COMPLEJO 

         
        La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: 




DERIVA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA 

          La derivada de una función compleja se define como

$\displaystyle f'(z) = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z_0\rightarrow 0} \frac {\Delta f}{\Delta z}$


          y respeta las fórmulas de derivación del cálculo real.

         Si una función es derivable en un punto $ z_0$ entonces es continua pero si la función            es continua no implica que será derivable.

         Una función se dice analítica en un punto $ z_0$ si es continua y derivable en $ z_0$ y en              todo $ z$ que pertenezca a alguna vecindad de $ z_0$.


FUNCIONES CUADRÁTICAS

 Sea f(z=(x,y))=u(x,y)+i\,v(x,y) , donde u,v tienen derivadas parciales de primer orden con respecto a x e y, entonces si:

ECUACIONES DE CUACHY RIEMAN 

u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)
u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)

      se dice que f(z) es una función ANALÍTICA en su dominio 

FUNCIONES ARMÓNICAS

 Sea f(z=(x,y))=u(x,y)+i\,v(x,y),  función analítica, siendo que u,v tengan primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x e y, entonces si se:

Uxx + Uyy = 0

Vxx + Vyy = 0
  
decimos que "u" y "v" son FUNCIONES ARMÓNICAS  ya que satisfacen las ecuaciones de Laplace.



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