NOVIEMBRE

SEMANA 1 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA


Definición 

Sea: f: D ⊆ C   →   C            z   →   w = f (z)
Se dice que f(z) tiene derivada si el siguiente límite existe:

       

      

• Las propiedades y reglas de derivación de las funciones de variable real se aplican a las funciones de variable compleja.

FUNCIONES ANALÍTICAS 

f(z) es analítica en zo  si y solo si f es derivable para todo z de algun D: |z - zo| < r

Sea f(z) = u(x,y) + i v(x,y) analítica en algún domino entonces satisface las ecuaciones de 

Ecuaciones de Cuachy Rieman para todo (x,y) del dominio

  Ecuaciones de Cauchy - Riemann (ECR)

 

Mira el video 

Se dice que f(z) es una función analítica en su dominio.

• Si f(z) es analítica para todo z, entonces la función se denomina función entera.

ux=vy   y    uy=-vx

    

                           FUNCIONES ARMÓNICAS 

Sea f(z) = u (x,y) + i v (x,y), función analítica, siendo que u ^ v tengan primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x ^ y, entonces si se cumple:

    Ecuaciones de Laplace

decimos que "u" ^ "v" son funciones armónicas, ya que satisfacen las ECUACIONES DE LAPLACE.

* Estas ecuaciones también se pueden escribir como:

 ²u = u_xx + u_yy = 0

 ²v = v_xx + v_yy = 0        ( Operador nabla )

* En Física las ecuaciones de Laplace de dos variables se las conoce como: Ecuaciones de Potencial.

* Si u ^ v son funciones armónicas, entonces se dice que u ^ v son conjugadas armónicas, una de otra.

INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

• Para los numero reales se define:

 INTEGRAL DEFINIDA 

• Para los números complejos se define:

 INTEGRALES DE LÍNEA 

* Las integrales de línea complejas se evalúan de forma similar a las integrales de línea de funciones reales de dos variables.

* Para las funciones de variable compleja existe la novedad de las integrales de Cauchy y la existencia de las derivadas de orden superior.

                         INTEGRALES INDEFINIDAS 

Sea f(z) función de variable compleja que tenga antiderivada, entonces se cumple:

En el caso de que f(z) tenga una antiderivada, se puede evaluar la integral indefinida.

 SEMANA  2

                

                             INTEGRALES DE LÍNEA 

Curvas suaves o suaves por intervalos 

Curva suave                                                                      Curva suave por trozos 

                       

Sea γ una curva suave representada por : z(t) = x(t) + i y(t), se dice que γ es una curva suave o suave por intervalos, si:

• x'(t) ^ y'(t) son funciones continuas.
• x'(t) ^ y'(t) no son simultáneamente igual a cero.

La representación de γ: z(t) = x(t) + i y(t) debe ser para "t" dentro de un intervalo [a,b].

PROPIEDADES

1. Sea f(z) una función continua, y γ una curva suave o suave por intervalos, entonces:

    existe

* Si   Ǝ ∫ f(z) dz ^ Ǝ ∫ g(z) dz , entonces:

2. ∫ [f(z) + g(z)] dz = ∫ f(z) dz + ∫ g(z) dz

3. ∫ α f(z) dz = α ∫ f(z) dz   ;  α Є C

4.  _-γ ∫ f(z) dz =  - _γ ∫f(z) dz

5. Sea f(z) una función continua, y γ una curva suave o suave por intervalos con: z(t) = x(t) + i y(t); a ≤ t ≤ b, entonces:

   Integral de Línea

+Toda curva suave o suave por intervalos tiene sentido positivo para valores de t de menos a más.

        

                 CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO 

6. Sea γ una curva suave o suave por intervalos de z1 a z2 dentro de un dominio D, simplemente conexo. Si f(z) es analítica y sea F'(z) = f(z) en D, entonces:

_γ ∫ f(z) dz = F(z2) - F(z1)

                             INTEGRALES CERRADAS

donde γ  es una curva cerrada.

•  Una curva cerrada, es aquella donde el punto inicial y el punto final coincide.
•  Se evalúan según la definición de integral de línea:

CURVAS SIMPLES EN D

γ es una curva en D, si no presenta entrecruzamientos.

Propiedad 1: (Teorema de la Integral de Cauchy)

Sea f(z) una función analítica en D, un dominio simplemente conexo y γ una curva cerrada simple, entonces:

 Integral de Cauchy

Propiedad 2:

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, la integral _γ ∫ f(z) dz es independiente de la trayectoria en D.

_γ1 ∫ f(z) dz = _γ2 ∫ f(z) dz

SEMANA 3

Propiedad 3: Teorema de la deformación

Sea f(z) una función analítica en D, excepto en zo y sean γ1 ^ γ2 curvas cerradas simples, entonces:

PROPIEDAD 4:  Integrales de  CAUCHY 

sea F(z) anañítica en su dominio D, simplemente conexo.
sea Y cualquier curava cerrada imple en D que encierra a Zo, entonces 

Corolario 

Propiedad 5: Fórmula de la Integral de Cauchy para derivadas de orden superior
si f es analitica en una dominio D simplemente convexo y sea Zo en D.  entonces F(z) tiene derivadas de todos los ordenes de Zo y "n" esimas derivadas de f en Zo, es:

Corolario:

                                             SEMANA 4

SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA 

SUCESIONES 

las sucesiones y series de variable compleja tienen propiedades similares a las sucesiones y series de variable real 

Se revisan 

Series de potencia 

Series de Taylor 

Series de Laurent ----> propia de los números complejos 

na sucesión de variable compleja es una función de los naturales en los complejos

Ejemplo

      

las sucesiones complejas se denotan {Zn}; Zn.

PROPIEDADES 

SERIES 

Una serie consiste en la suma de todos los términos de una sucesión y se representa.